Question

1．已知S_n={A|A=（a₁，a₂，a₃，…，a_n），a_i=0或1，i=1，2…，n}（n≥2），对于U，V∈S_n，d（U，V）表示U，V中相对应位置上的数不同的个数．
（1）若U=（1，1，…，1）则对于所有V∈S_n，全部d（U，V）之和D=n•2^n-1
（2）对于所有U，V∈S_n，全部d（U，V）之和D=n•2^2n-1．

Answer 1

分析 （1）由于a_i=0或1，可得S_n中共有2ⁿ个元素，分别记为v_k（k=1，2，3，…，2ⁿ，v=（b₁，b₂，b₃，…b_n），b_i=0的v_k共有2^n-1个，b_i=1的v_k共有2^n-1个．即可得到所求和；
（2）由（1）可得S_n中共有2ⁿ个元素，且对于S_n中的每一个元素，都有全部d（U，V）之和为n•2^n-1，即可得到所求和．

解答 解：（1）由S_n={A|A=（a₁，a₂，a₃，…，a_n），a_i=0或1，i=1，2…，n}（n≥2），
可得S_n中共有2ⁿ个元素，分别记为v_k（k=1，2，3，…，2ⁿ，v=（b₁，b₂，b₃，…b_n），
∵b_i=0的v_k共有2^n-1个，b_i=1的v_k共有2^n-1个．
∴d（U，V）=2^n-1（|0-1|+|1-1|+|0-1|+1-1|+|0-1|+|1-1|+…+|0-1|+|0-1|）=n•2^n-1，
∴d（U，V）=n•2^n-1．
（2）由于U，V∈S_n，S_n中共有2ⁿ个元素，
由（1）可得对于S_n中的每一个元素，都有全部d（U，V）之和为n•2^n-1．
则所求全部d（U，V）之和D=2ⁿ•n•2^n-1=n•2^2n-1．
故答案为：n•2^n-1，n•2^2n-1．

点评 本题是综合考查集合推理综合的应用，这道题目的难点主要出现在读题上，第一个是关于S_n的，其实S_n中的元素就是一个n维的坐标，其中每个坐标值都是0或者1，也可以这样理解，就是一个n位数字的数组，每个数字都只能是0和1，第二个定义d（U，V），相对应位置上的数不同的个数的理解．