Question

15．符号$\sum_{i=1}^n{a_i}$表示数列{a_n}的前n项和（即$\sum_{i=1}^n{a_i}={a_1}+{a_2}+…+{a_n}$）．已知数列{a_n}满足a₁=0，a_n≤a_n+1≤a_n+1（n∈N^*），记${S_n}=\sum_{k=1}^n{{{（-1）}^{k-1}}{a^{a_k}}}（0＜a＜1）$，若S₂₀₁₆=0，则当$\sum_{k=1}^{2016}{{a^{a_k}}}$取最小值时，a₂₀₁₆=1007．

Answer 1

分析 S₂₀₁₆=0，$\sum_{k=1}^{1008}$${a}^{{a}_{2k-1}}$=$\sum_{k=1}^{1008}$${a}^{{a}_{2k}}$，进一步可知{a_n}从第一起k∈{1，2，3，4，…，1008}，当$\sum_{k=1}^{2016}$${a}^{{a}_{2k}}$取最小值，a₂₀₁₆=1007．

解答 解：S₂₀₁₆=0，$\sum_{k=1}^{2016}$（-1）^k${a}^{{a}_{k}}$=0，
即$\sum_{k=1}^{1008}$${a}^{{a}_{2k-1}}$=$\sum_{k=1}^{1008}$${a}^{{a}_{2k}}$，
∵a_n≤a_n+1，（n∈N^*），0＜a＜1，
∴$\sum_{k=1}^{1008}$${a}^{{a}_{2k-1}}$≥$\sum_{k=1}^{1008}$${a}^{{a}_{2k}}$，
∴a_2k-1=a_2k，k∈{1，2，3，4，…，1008}，
∵a₁=0，a_n≤a_n+1≤a_n+1（n∈N^*），
∴当$\sum_{k=1}^{2016}$${a}^{{a}_{2k}}$取最小值，
∴a₂₀₁₆=1007，
故答案为：1007．

点评 本题考查数列前n项和的方法，考查转化思想，属于中档题．