Question

函数f（x）=ax+

1

x

，且f（1）=3．
（1）求f（x）的表达式；   
（2）证明f（x）在（1，+∞）上是增函数．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（1）=3方程求解即可，（2）利用导数符号证明即可．

解答： 解：（1）函数f（x）=ax+

1

x

，且f（1）=3则有a+1=3，解得a=2，所以函数f（x）=2x+

1

x

，（x≠0），
（2）证明：由（1）可知f（x）=2x+

1

x

，则f′（x）=2-

1

x2

，
又∵x∈（1，+∞），
∴0＜

1

x2

＜1，
∴f′（x）=2-

1

x2

＞0，
∴f（x）在（1，+∞）上是增函数．

点评：本题考查函数的单调性的证明，利用导数证明函数的单调性是常用方法，要熟练掌握．