Question

已知t∈R，圆C：x²+y²-2tx-2t²y+4t-4=0．
（1）若圆C的圆心在直线x-y+2=0上，求圆C的方程；
（2）圆C是否过定点？如果过定点，求出定点的坐标；如果不过定点，说明理由．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）求出圆C的圆心，利用圆C的圆心在直线x-y+2=0上，即可求圆C的方程；
（2）圆C：x²+y²-2tx-2t²y+4t-4=0，可化为（x²+y²-4）+（-2x+4）t+（-2y）t²=0，令

x2+y2-4=0 -2x+4=0 -2y=0

，可得圆C过定点．

解答： 解：（1）圆C：x²+y²-2tx-2t²y+4t-4=0，可化为圆（x-t）²+（y-t）²=t⁴+t²-4t+4，
∵圆C的圆心在直线x-y+2=0上，
∴t-t²+2=0，
∴t=-1或2，
∴圆C的方程为x²+y²+2x-2y-8=0或x²+y²-4x-8y+4=0；
（2）圆C：x²+y²-2tx-2t²y+4t-4=0，可化为（x²+y²-4）+（-2x+4）t+（-2y）t²=0，
令

x2+y2-4=0 -2x+4=0 -2y=0

，可得x=2，y=0，
∴圆C过定点（2，0）．

点评：本题考查圆的方程，考查圆过定点，考查学生的计算能力，比较综合．