Question

设函数f(x)＝ax＋b(其中a≠0)，若f(3)＝5，且f(1)，f(2)，f(5)成等比数列．

(1)求f(n)；

(2)令b_n＝f(n)·2ⁿ，求数列{b_n}的前n项和T_n.

Answer 1

　(1)∵f(3)＝5，且f(1)，f(2)，f(5)成等比数列，

∴解得a＝2，b＝－1，

∴f(x)＝2x－1，即f(n)＝2n－1.

(2)由题意得b_n＝(2n－1)·2ⁿ，

则T_n＝1·2¹＋3·2²＋…＋(2n－1)·2ⁿ，①

2T_n＝1·2²＋3·2³＋…＋(2n－3)·2ⁿ＋(2n－1)·2^n＋1，②

①－②得：－T_n＝2＋2³＋2⁴＋…＋2^n＋1－(2n－1)·2^n＋1

＝2·2^n＋1－6－(2n－1)·2^n＋1

＝－(2n－3)·2^n＋1－6，

∴T_n＝(2n－3)·2^n＋1＋6.