Question

20．已知两点A（4，0），B（0，5），点C圆x²+y²=9上的任意一点，则△ABC面积的最小值是（　　）

• A． 10-$\frac{3\sqrt{41}}{2}$
• B． 10+$\frac{3\sqrt{41}}{2}$
• C． 10-$\frac{\sqrt{41}}{2}$
• D． 10+$\frac{\sqrt{41}}{2}$

Answer 1

分析 由题意可得AB=$\sqrt{41}$，要求△ABC的面积的最小值，只要求C到直线AB距离d的最小值，由于O到直线AB：5x+4y-20=0的距离为$\frac{20}{\sqrt{41}}$，可得d_min=$\frac{20}{\sqrt{41}}$-3，从而可求面积的最小值．

解答 解：由题意可得AB=$\sqrt{16+25}$=$\sqrt{41}$，
要求△ABC的面积的最小值，只要求C到直线AB距离d的最小值，
由于O到直线AB：5x+4y-20=0的距离为$\frac{20}{\sqrt{41}}$，
∴d_min=$\frac{20}{\sqrt{41}}$-3，
∴△ABC的面积的最小值为$\frac{1}{2}×\sqrt{41}×$（$\frac{20}{\sqrt{41}}$-3）=10-$\frac{3\sqrt{41}}{2}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了利用圆的性质求解三角形的面积的最小值，求出C到直线AB距离d的最小值是关键．