Question

15．f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，满足3f（x）-xf′（x）＜0，下列正确的是（　　）

• A． $\sqrt{2}$f（2）＜4f（$\sqrt{2}$）
• B． $\sqrt{2}$f（2）＞4f（$\sqrt{2}$）
• C． $\sqrt{2}$f（2）=4f（$\sqrt{2}$）
• D． 两者大小关系无法确定

Answer 1

分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，求函数的导数，利用函数的单调性判断即可．

解答 解：设g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，则g′（x）=$\frac{xf′（x）-3f（x）}{{x}^{4}}$，
∵3f（x）＜xf′（x），
∴g′（x）＞0
即当x＞0时，函数g（x）单调递增，
∵f（2）=4，
∴g（2）＞g（$\sqrt{2}$），即$\frac{f（2）}{8}$＞$\frac{f（\sqrt{2}）}{2\sqrt{2}}$，
则$\sqrt{2}$f（2）＞4f（$\sqrt{2}$），
故选：B．

点评 本题主要考查不等式的解法，利用条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．