题目内容
18．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R，都有$f（x）＞0，f（x+2）=\frac{1}{f（x）}$．则f（2015）=（ ）| A． | 4 | B． | 3 | C． | 2 | D． | 1 |
分析 先求出函数的周期，再求出f（1），然后f（2015）=f（503×4+3）=f（3）=f（1+2）=$\frac{1}{f（1）}$=1．
解答 解：∵f（（x+2）=$\frac{1}{f（x）}$，
∴f（x+4）=$\frac{1}{f（x+2）}$=$\frac{1}{\frac{1}{f（x）}}$=f（x），
所以函数f（x）是周期为4的函数，
∴f（2015）=f（503×4+3）=f（3），
∵对任意x∈R，都有$f（x）＞0，f（x+2）=\frac{1}{f（x）}$，
令x=-1得，f（1）=$\frac{1}{f（-1）}$=$\frac{1}{f（1）}$，
∴f（1）=1，
∵f（3）=f（1+2）=$\frac{1}{f（1）}$=1，
故选D．
点评 本题主要考查函数的周期性和奇偶性，属于基础题．
练习册系列答案
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| A． | $?{x_0}∈R，{2^{x_0}}≤0$ | B． | $?{x_0}∈R，{2^{x_0}}＞0$ | C． | $?{x_0}∈R，{2^{x_0}}＞0$ | D． | $?{x_0}∈R，{2^{x_0}}≥0$ |
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