Question

14．已知圆C：（x+1）²+y²=12及点F（1，0）点，P在圆上，M，N分别为PF、PC上的点，且满足$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MF}$，$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{PF}$=0
（1）求N的轨迹W的方程；
（2）是否存在过点F（1，0）的直线l与曲线W相交于A，B两点，并且与曲线W上一点Q，使得四边形OAQB为平行四边形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）推导出曲线W是以C，F为焦点的椭圆，且a=$\sqrt{3}$，c=1，b=$\sqrt{2}$，由此能求出曲线C的方程．
（2）设l：x=my+1，代入椭圆方程整理得（2m²+3）y²+4my-4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识、椭圆性质，结合已知条件能求出直线l的方程．

解答 （本小题满分13分）
解：（1）由M，N分别为PF、PC上的点，且满足$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MF}$，$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{PF}$=0
得道直线MN为线段PF的中垂线，则|PN|=|NF|，
因此|NC|+|NF|=2$\sqrt{3}$，曲线W是以C，F为焦点的椭圆，且a=$\sqrt{3}$，c=1，b=$\sqrt{2}$，
所以曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．…（6分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意知l的斜率一定不为0，
故不妨设l：x=my+1，代入椭圆方程整理得（2m²+3）y²+4my-4=0，…（7分）
△=16m²+16（2m²+3）＞0，
${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{4m}{2{m}^{2}+3}$，${y}_{1}{y}_{2}=-\frac{4}{2{m}^{2}+3}$，①，…（8分）
假设存在点Q，使得四边形OAQB为平行四边形，其充要条件为$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，
则点Q的坐标为（x₁+x₂，y₁+y₂）．由点Q在椭圆上，即$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{3}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}{2}$=1，
整理得$2{{x}_{1}}^{2}+3{{y}_{1}}^{2}+2{{x}_{2}}^{2}+3{{y}_{2}}^{2}+4{x}_{1}{x}_{2}$+6y₁y₂=6，…（10分）
又A，B在椭圆上，即$2{{x}_{1}}^{2}+3{{y}_{1}}^{2}=6，2{{x}_{2}}^{2}+3{{y}_{2}}^{2}=6$，
故2x₁x₂+3y₁y₂=-3，②…（11分）
所以x₁x₂=（my₁+1）（my₂+1）=m²y₁y₂+m（y₁+y₂）+1，
将①②代入上式解得m=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$，…（12分）
即直线l的方程是：x=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$y+1，即2x$±\sqrt{2}y$-2=0．…（13分）

点评 本题考查曲线方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、向量知识、椭圆性质的合理运用．