Question

20．设f（x）=$\frac{1}{{{4^x}+2}}$，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f（$\frac{1}{10}$）+f（$\frac{2}{10}$）+…+f（$\frac{9}{10}$）=$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 先考察函数f（x）具有的性质：若a+b=1，则f（a）+f（b）=$\frac{1}{2}$，由此可求答案．

解答 解：设a+b=1，则f（a）+f（b）=$\frac{1}{{4}^{a}+2}$+$\frac{1}{{4}^{b}+2}$=$\frac{1}{{4}^{a}+2}$+$\frac{1}{{4}^{1-a}+2}$
=$\frac{1}{{4}^{a}+2}$+$\frac{{4}^{a}}{4+2•{4}^{a}}$=$\frac{1}{2}$．
所以f（$\frac{1}{10}$）+f（$\frac{9}{10}$）=$\frac{1}{2}$，f（$\frac{2}{10}$）+f（$\frac{8}{10}$）=$\frac{1}{2}$，…，
∴f（$\frac{1}{10}$）+f（$\frac{2}{10}$）+…+f（$\frac{9}{10}$）=$\frac{1}{2}$×（9×$\frac{1}{2}$）=$\frac{9}{4}$．
故答案为：$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查根据数列是特殊的函数，根据函数具有的性质，来解决数列的和问题，利用的是倒序相加法，属于基础题．