Question

2．某地计划建造一间背面靠墙的小屋，其地面面积为12m²，墙面的高度为3m，经测算，屋顶的造价为5800元，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元．设房屋正面地面长方形的边长为xm，房屋背面和地面的费用不计．
（1）用含x的表达式表示出房屋的总造价z；
（2）怎样设计房屋能使总造价最低？最低造价是多少？

Answer 1

分析 （1）由已知中地面面积为12m²，我们可得xy=12，可得y=$\frac{12}{x}$，根据房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价共5200元．根据墙高为3m，我们可以构造房屋总造价的函数解析式；
（2）利用基本不等式即可求出函数的最小值，注意等号成立的条件，进而得到答案．

解答 解：（1）设总造价为z元，
则由xy=12，可得y=$\frac{12}{x}$，
∴z=3y×1200+6x×800+5800
=$\frac{12×3600}{x}$+4800x+5800，（x＞0）；
（2）z≥2$\sqrt{\frac{12×3600}{x}•4800x}$+5800=34600，
当$\frac{12×3600}{x}$=4800x时，即x=3时，z有最小值34600，此时y=4．
答：长4m，宽3m．最低总造价为34600元．

点评 本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，函数的值域，其中根据已知条件构造房屋总造价的函数解析式，将实际问题转化为函数的最值问题，运用基本不等式是解答本题的关键．