Question

17．已知函数f（x）=$\frac{ln（2-x）}{\sqrt{x-1}}$的定义域为A，不等式（x-1）²＜log_ax在x∈A时恒成立，则实数a的取值范围是（1，2]．

Answer 1

分析 求出A，设g（x）=（x-1）²，h（x）=log_ax，要使不等式（x-1）²＜log_ax在x∈（1，2）时恒成立，只需g（x）的图象在h（x）的图象下方即可，①当0＜a＜1时，显然不成立，
②当a＞1时，如图所示，只需g（2）≤h（2），即（2-1）²≤log_a2，解得1＜a≤2．即可求出实数a的取值范围

解答 解：由x-1＞0，2-x＞0，可得函数f（x）=$\frac{ln（2-x）}{\sqrt{x-1}}$的定义域为A=（1，2）．
设g（x）=（x-1）²，h（x）=log_ax，
要使不等式（x-1）²＜log_ax在x∈（1，2）时恒成立，只需g（x）的图象在h（x）的图象下方即可，
①当0＜a＜1时，显然不成立，
②当a＞1时，如图所示，只需g（2）≤h（2），即（2-1）²≤log_a2，解得1＜a≤2．
综上，实数a的取值范围是（1，2]．
故答案为：（1，2]．

点评 本题考查了恒成立问题，考查了数形结合思想，属于中档题．