Question

16．已知方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2x（1）}\\{y=x+m（2）}\end{array}\right.$有两组实数解x$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{1}}\\{y={y}_{1}}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{2}}\\{y={y}_{2}}\end{array}\right.$，且$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{3}{2}$，求m的值．

Answer 1

分析 把两个方程联立，得到关于x的一元二次方程，得到两根之和与两根之积，代入$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{3}{2}$，得到关于m的方程求解．

解答 解：将y=x+m代入y²=2x，得（x+m）²=2x，整理得：x²+（2m-2）x+m²=0．
∵方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2x}\\{y=x+m}\end{array}\right.$有两组实数解，
则${x}_{1}+{x}_{2}=-2m+2，{x}_{1}{x}_{2}={m}^{2}$，
则$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}=\frac{2-2m}{{m}^{2}}$=$\frac{3}{2}$，则3m²+4m-4=0．
解得：${m}_{1}=-2，{m}_{2}=\frac{2}{3}$．
∵方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2x}\\{y=x+m}\end{array}\right.$有两组实数解，∴-8m+4＞0，m$＜\frac{1}{2}$．
∴m=-2．

点评 本题考查根的存在性与根的个数判断，关键是利用一元二次方程的根与系数的关系求解，是中档题．