题目内容

7．若函数f（x）=（ax-1）ex（ a∈R）在区间[0，1]上是单调增函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．（0，1）B．（0，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）

分析 求导数，分离参数，即可得出结论．

解答 解：∵f（x）=（ax-1）ex，
∴f′（x）=（a+ax-1）ex，
∵f（x）区间[0，1]上是单调增函数，
∴f′（x）≥0对于x∈[0，1]恒成立，
即a+ax-1≥0对于x∈[0，1]恒成立，
即a≥$\frac{1}{1+x}$对于x∈[0，1]恒成立，
∵y=$\frac{1}{1+x}$在x∈[0，1]上单调递减，
∴函数的最大值为1，
∴a≥1．
故选：D．

点评 本题是利用导数研究函数的单调性问题，是一种常见题型，即“已知单调性求参数问题”．在解题过程中注意到数形结合方法的运用，可以简化计算．

练习册系列答案
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12．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表：
x$\frac{π}{6}$$\frac{7π}{6}$
ωx+φ0$\frac{π}{2}$π$\frac{3π}{2}$2π
Asin（ωx+φ）020-2
（Ⅰ）请将上表数据补全，并直接写出函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数f（x）的值域．
13．已知椭圆C1：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且过点（1，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）．
（Ⅰ）求C1的方程；
（Ⅱ）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l的方程．
15．如图，在四棱锥P-ABCD中，直线PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，BC=2AB=2AD=4BE=4．
（I）求证：直线DE⊥平面PAC．
（Ⅱ）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求二面角A-PC-D的平面角的余弦值．
2．已知函数f（x）=lnx-1+$\frac{1}{x}$．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）对任意x∈（0，1）∪（1，e）（其中e为自然对数的底数），都有$\frac{alnx}{x-1}$＞1（a＞0）恒成立，求正数a的取值范围．
12．已知函数$f（x）=\frac{a}{2}{x^2}+2x-lnx（a≥0）$．
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线x+3y=0垂直，求实数a的值；
（2）求证：函数f（x）的最小值大于$\frac{3}{2}$．
19．已知函数f（x）=（x-k-1）ex（e为自然对数的底数，e≈2.71828，k∈R）．
（1）当x＞0时，求f（x）的单调区间和极值；
（2）①若对于任意x∈[1，2]，都有f（x）＜4x成立，求k的取值范围；
②若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明：x1+x2＜2k．
16．已知方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2x（1）}\\{y=x+m（2）}\end{array}\right.$有两组实数解x$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{1}}\\{y={y}_{1}}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{2}}\\{y={y}_{2}}\end{array}\right.$，且$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{3}{2}$，求m的值．
17．函数y=x5-xex在区间（-3，3）上的图象大致是（　　）
A．B．C．D．

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