Question

1．已知在平面直角坐标系中的一条双曲线，它的中心在原点，渐近线方程为y=±$\frac{1}{2}$x，且过点A（2$\sqrt{3}$，-1）
（Ⅰ）求该双曲线的标准方程及离心率；
（Ⅱ）经过点A（1，1）作直线l交双曲线于不同两点M，N，且点A是线段MN的中点，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意设出双曲线方程$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=λ（λ≠0）$，代入A点坐标，求得λ值，则双曲线方程可求；
（Ⅱ）分别设出M，N的坐标，代入双曲线方程，作差后代入A的坐标求得MN的斜率，则直线l的方程可求．

解答 解：（Ⅰ）由题意设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=λ（λ≠0）$，
由点A（2$\sqrt{3}$，-1）在双曲线上，得$\frac{（2\sqrt{3}）^{2}}{4}-（-1）^{2}=λ$，
∴λ=2，
则双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
其中a²=8，b²=2，则c²=a²+b²=10，c=$\sqrt{10}$．
∴e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$；
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{8}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{8}-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}=1$，
两式作差得：$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{8}=\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{2}$，
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4（{y}_{1}+{y}_{2}）}$，
∵点A（1，1）是MN的中点，∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=\frac{2}{4×2}=\frac{1}{4}$．
即${k}_{MN}=\frac{1}{4}$．
∴直线l的方程为y-1=$\frac{1}{4}$（x-1），整理得：x-4y+3=0．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的综合运用，考查了双曲线的简单性质，训练了“点差法”求与中点弦有关的直线方程，是中档题．