Question

6．设集合A为不等式1og_x（5x²-8x+3）＞2的解集，集合B为不等式2${\;}^{{x}^{2}-2x-{k}^{4}}$≥$\frac{1}{2}$的解集．
（1）求集合A，B；
（2）如果A⊆B，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）讨论x＞1与1＞x＞0时，不等式1og_x（5x²-8x+3）＞2化为等价的不等式，求出解集A；再把不等式2${\;}^{{x}^{2}-2x-{k}^{4}}$≥$\frac{1}{2}$化为等价的不等式x²-2x-k⁴≥-1，求出解集B；
（2）当A⊆B时，列出应满足条件的不等式，求出k的取值范围．

解答 解：（1）当x＞1时，不等式1og_x（5x²-8x+3）＞2可化为
5x²-8x+3＞x²，即4x²-8x+3＞0，
解得x＜$\frac{1}{2}$或x＞$\frac{3}{2}$，
又5x²-8x+3＞0，解得x＜$\frac{3}{5}$或x＞1，
∴取x＞$\frac{3}{2}$；
当1＞x＞0时，不等式1og_x（5x²-8x+3）＞2可化为
5x²-8x+3＜x²，即4x²-8x+3＜0，
解得$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{3}{2}$，
又5x²-8x+3＞0，解得x＜$\frac{3}{5}$或x＞1，
∴取$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{3}{5}$；
∴该不等式的解集为A=（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{5}$）∪（$\frac{3}{2}$，+∞）；
又不等式2${\;}^{{x}^{2}-2x-{k}^{4}}$≥$\frac{1}{2}$可化为
2${\;}^{{x}^{2}-2x-{k}^{4}}$≥2^-1，即x²-2x-k⁴≥-1，
整理得x²-2x+1≥k⁴，
解得x≤1-k²或x≥1+k²，
∴该不等式的解集为B=（-∞，1-k²]∪[1+k²，+∞）；
（2）当A⊆B时，应满足1+k²≤$\frac{1}{2}$或$\left\{\begin{array}{l}{1{+k}^{2}≤\frac{3}{2}}\\{1{-k}^{2}≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得k∈∅或-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤k≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴实数k的取值范围是[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

点评 本题考查了利用函数的单调性求不等式的解集的应用问题，也考查了集合的运算与应用问题，是综合性题目．