Question

9．已知x＞0，y＞0，2xy=x+4y+a
（1）当a=6时，求xy的最小值；
（2）当a=0时，求$x+y+\frac{2}{x}+\frac{1}{2y}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式的性质转化为二次函数即可得出、
（2）利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出

解答 解：（1）当a=6时，$2xy=x+4y+6≥4\sqrt{xy}+6$，当且仅当x=4y=6时，等号成立．
即${（\sqrt{xy}）^2}-2\sqrt{xy}-3≥0$，
∴$（\sqrt{xy}+1）（\sqrt{xy}-3）≥0$，
∴$\sqrt{xy}≥3$，
∴xy≥9，
∴xy的最小值为9．
（2）当a=0时，可得2xy=x+4y，
两边都除以2xy，得$\frac{1}{2y}+\frac{2}{x}=1$，
∴$x+y+\frac{2}{x}+\frac{1}{2y}=x+y+1=（x+y）（\frac{1}{2y}+\frac{2}{x}）+1=\frac{7}{2}+（\frac{x}{2y}+\frac{2y}{x}）≥\frac{7}{2}+2\sqrt{\frac{x}{2y}•\frac{2y}{x}}=\frac{11}{2}$，
当且仅当$\frac{x}{2y}=\frac{2y}{x}=1$，即x=3，$y=\frac{3}{2}$时取等号．
∴$x+y+\frac{2}{x}+\frac{1}{2y}$的最值为$\frac{11}{2}$．

点评 本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．