Question

已知函数f（x）=

2x-1，0≤x＜1 2f(x-1)，x≥1

，方程f（x）=

1

2

的解从小到大组成数列{a_n}．
（Ⅰ）求a₁、a₂；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列的应用,分段函数的应用

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）根据分段函数，0≤x＜1时，由f（x）=

1

2

求a₁、1≤x＜2时，由f（x）=

1

2

求a₂；
（Ⅱ）设n-1≤x＜n，则0≤x-（n-1）＜1，求出f（x），结合x=log₂（2ⁿ+1）-1∈（n-1，n），即方程f（x）=

1

2

在x∈[n-1，n）内有且仅有一个实根，即可求数列{a_n}的通项公式．

解答： 解：（Ⅰ）0≤x＜1时，由f（x）=

1

2

得2x-1=

1

2

，∴x=log2

3

2

，
即a₁=log2

3

2

．
1≤x＜2时，0≤x-1＜1，f（x）=2f（x-1）=2^x-2，
由f（x）=

1

2

得2^x-2=

1

2

，∴x=log2

5

4

+1，
∴a₂=log2

5

4

+1；
（Ⅱ）设n-1≤x＜n，则0≤x-（n-1）＜1，
∴f（x）=2¹f（x-1）=2²f（x-2）=…=2^n-1f[x-（n-1）]=2^n-1（2^x-n+1-1）=2^x-2^n-1，
∵2ⁿ＜2ⁿ+1＜2ⁿ⁺¹，∴x=log₂（2ⁿ+1）-1∈（n-1，n），
即方程f（x）=

1

2

在x∈[n-1，n）内有且仅有一个实根，
∴a_n=log₂（2ⁿ+1）-1．

点评：本题考查数列与函数的综合，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，正确运用函数解析式是关键．