Question

已知定义在R₊上的函数f（x）单调递减，且对任意x∈（0，+∞）恒有f（f（x）-log

1

2

x）=1，则函数f（x）的零点为（　　）

• A、

  1

  4

• B、

  1

  2

• C、2
• D、4

Answer 1

考点：函数单调性的性质,对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：设f（x）-log

1

2

x=t，则方程等价为f（t）=1，然后令x=t，即可求出t的值，然后利用零点求解的方法，即可得到结论．

解答： 解：设f（x）-log

1

2

x=t，则f（x）=log

1

2

x+t
方程等价为f（t）=1，
令x=t，则f（t）=log

1

2

t+t=1，解得t=1，
∵函数f（x）单调递减，
∴t值唯一，
∴f（x）=log

1

2

x+1，
由f（x）=log

1

2

x+1=0得log

1

2

x=-1，
解得x=2，
故选：C．

点评：本题主要考查函数零点的求解，根据函数的单调性求出函数的表达式是解决本题的关键．综合性较强，有一点的难度．