Question

若直线y=m（m＞0）是函数f（x）=

3

cos²ωx-sinωxcosωx-

3

2

（ω＞0）的图象的一条切线，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列．
（Ⅰ）求ω和m的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边．若（

A

2

，0）是函数f（x）图象的一个对称中心，且a=4，求b+c的最大值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,两角和与差的正弦函数,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换化f（x）为Acos（ωx+φ）的形式，由直线y=m（m＞0）是函数f（x）的一条切线求得m=A，再由切点横坐标依次成公差为π的等差数列求得函数f（x）的周期，从而求得ω的值；
（Ⅱ）由（

A

2

，0）是函数f（x）图象的一个对称中心求出A，结合已知a=4，由余弦定理得到（b+c）²-3bc=16，再结合不等式bc≤(

b+c

2

)2可求b+c的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=

3

cos²ωx-sinωxcosωx-

3

2

，得
f(x)=

3

×

1+cos2ωx

2

-

1

2

sin2ωx-

3

2

=cos(2ωx+

π

6

)，
由f（x）的图象与直线y=m（m＞0）相切，得m=1．
∵切点横坐标依次成公差为π的等差数列，
∴周期T=

2π

2ω

=π，
∴ω=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=cos(2x+

π

6

)，
令2x+

π

6

=

π

2

+kπ，得x=

π

6

+

kπ

2

，k∈Z，
∵点（

A

2

，0）是函数f（x）图象的一个对称中心，又A是△ABC内角，
∴

A

2

=

π

6

，A=

π

3

．
又a=4，
由余弦定理得：
a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc，即（b+c）²-3bc=16，
又bc≤(

b+c

2

)2，
∴-3bc≥-

3(b+c)2

4

，
∴(b+c)2-3bc≥

(b+c)2

4

，
则

(b+c)2

4

≤16，
∴（b+c）≤8，
当且仅当b=c=a=4时，（b+c）_max=8．

点评：本小题主要考查三角函数的化简、三角函数图象和性质、三角变换、两角和差公式和正弦定理等，考查运算求解能力，是中档题．