Question

9．$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{6-2+4-8+…+（-2）^{n+1}}{4+3+9+27+…+{3}^{n}}$=$\frac{32}{15}$．

Answer 1

分析 运用等比数列的求和公式，分别化简原式的分子和分母，求得极限，再由原式的极限即可得到所求值．

解答 解：由6-2+4-8+…+（-2）ⁿ⁺¹=6+$\frac{-2（1-（-2）^{n+1}）}{1-（-2）}$
=6-$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{3}$•（-2）ⁿ⁺¹，
则$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{16}{3}$+$\frac{2}{3}$•（-2）ⁿ⁺¹）=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{16}{3}$+$\frac{2}{3}$$\underset{lim}{n→∞}$（-2）ⁿ⁺¹）=$\frac{16}{3}$+0=$\frac{16}{3}$；
由4+3+9+27+…+3ⁿ=4+$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$=$\frac{5}{2}$+$\frac{{3}^{n+1}}{2}$，
则$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{5}{2}$+$\frac{{3}^{n+1}}{2}$）=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{5}{2}$+$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{3}^{n+1}}{2}$=$\frac{5}{2}$+0=$\frac{5}{2}$．
即有$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{6-2+4-8+…+（-2）^{n+1}}{4+3+9+27+…+{3}^{n}}$=$\frac{\frac{16}{3}}{\frac{5}{2}}$=$\frac{32}{15}$．
故答案为：$\frac{32}{15}$．

点评 本题考查数列极限的求法，注意运用等比数列的求和公式和常见数列的极限，考查运算能力，属于中档题．