Question

9．设函数f（x）=$\frac{1}{2a}$x²-lnx，其中a为大于0的常数
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间和极值
（2）当x∈[1，2]时，不等式f（x）＞2恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a=1代入函数f（x）的解析式，求出函数的导数，从而求出函数的单调区间；
（2）先求出函数的导数，问题转化为求函数f（x）在[1，2]上的最小值f（x）_min＞2，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，得到关于函数最小值的解析式，求出a的值即可．

解答 解：（1）当a=1时，$f（x）=\frac{x^2}{2}-lnx$，即$f'（x）=x-\frac{1}{x}=\frac{{{x^2}-1}}{x}$∵x＞0，令f'（x）=0，得x=1．
当x变化时，f'（x），f（x）变化状态如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值$\frac{1}{2}$	↗

故f（x）的单增区间为（1，+∞），单减区间为（0，1），f（x）的极小值为$\frac{1}{2}$，无极大值；
（2）由不等式f（x）＞2恒成立得，即f（x）_min＞2
易知$f'（x）=\frac{x}{a}-\frac{1}{x}=\frac{{{x^2}-a}}{ax}$，
∵a＞0，x＞0，∴令f'（x）＞0得$x＞\sqrt{a}$；
∴令f'（x）＜0得$0＜x＜\sqrt{a}$；
故f（x）的单减区间为$（{0，\sqrt{a}}）$，单增区间为$（{\sqrt{a}，+∞}）$
又x∈[1，2]，①当$\sqrt{a}≥2$，即a≥4时，x∈[1，2]单减，
$f{（x）_{min}}=f（2）=\frac{2}{a}-ln2＞2$即$a＜\frac{2}{2+ln2}$舍
②当$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{a}＞1\\ \sqrt{a}＜2\end{array}\right.$，即1＜a＜4时$x∈[{1，\sqrt{a}}]$单减，
$x∈[{\sqrt{a}，+∞}）$单增$f{（x）_{min}}=f（\sqrt{a}）=\frac{1}{2}-ln\sqrt{a}＞2$，即lna＜-3，∵lna＞0，故舍去．
③当$\sqrt{a}≤1$，即0＜a≤1时，x∈[1，2]单增，$f{（x）_{min}}=f（1）=\frac{1}{2a}＞2$即$0＜a＜\frac{1}{4}$，适合
综上：$0＜a＜\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道中档题．