Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2n²+2n，数列{b_n}的前n项和T_n=2-b_n
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和A_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由

an= S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，求出a_n=4n．又当≥2时，b_n=T_n-T_n-1=（2-b_n）-（2-b_n-1），从而得到数列{b_n}是等比数列，由此求出bn=(

1

2

)n-1．
（2）由C_n=a_nb_n=

4n

2n-1

，利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和A_n．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和S_n=2n²+2n，∴a₁=S₁=4，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2n²+2n）-[2（n-1）²+2（n-1）]=4n，
∵n=1时也成立，
∴a_n=4n；
又当≥2时，b_n=T_n-T_n-1=（2-b_n）-（2-b_n-1），
∴2b_n=b_n-1，
∴数列{b_n}是等比数列，其首项为1，公比为

1

2

，
∴bn=(

1

2

)n-1．
（2）C_n=a_nb_n=

4n

2n-1

．
∴A_n=4（

1

20

+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

），①?

1

2

An=4(

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

)，?②
①-②得

1

2

An=4(

1

20

+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n

)
=4（2-

n+2

2n

）．
∴An=8(2-

n+2

2n

)=16-

n+2

2n-3

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．