Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

an+3

（n∈N^*），b_n=（3ⁿ-1）（

n

2n

）•a_n，{b_n}的前n项和为T_n，若不等式（-1）ⁿλ＜T_n+

n

2(n+1)

对一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：对a_n+1=

an

an+3

，两边取倒数，再构造数列，求出a_n=

2

3n-1

，从而得到b_n=n•（

1

2

）^n-1，再运用错位相减法，求出T_n，讨论n为偶数，n为奇数，再根据数列的单调性，求出最值，即可得到λ的取值范围．

解答： 解：∵a₁=1，a_n+1=

an

an+3

，
∴两边取倒数，得

1

an+1

=1+

3

an

，
令

1

an+1

+t=3（

1

an

+t）即t=

1

2

，
∴

1

an

+

1

2

=（

1

a1

+

1

2

）•3^n-1=

3n

2

，
∴a_n=

2

3n-1

，
∵b_n=（3n-1）•

n

2n

•a_n
∴b_n=n•（

1

2

）^n-1
∴T_n=1•（

1

2

）⁰+2•（

1

2

）¹+3•（

1

2

）²+…+n•（

1

2

）^n-1

1

2

T_n=1•（

1

2

）¹+2•（

1

2

）²+3•（

1

2

）³…+n•（

1

2

）ⁿ
相减得

1

2

T_n=1+

1

2

+（

1

2

）²+…+（

1

2

）^n-1-n•（

1

2

）ⁿ
=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-n•（

1

2

）ⁿ
∴T_n=4[1-（

1

2

）ⁿ]-2n•（

1

2

）ⁿ=4-（

1

2

）ⁿ•（2n+4）
当n为偶数时，λ＜4-（

1

2

）ⁿ•（2n+4）+

n

2(n+1)

恒成立，
∵

n

2(n+1)

=

1

2(1+ 1 n )

递增，-（

1

2

）ⁿ•（2n+4）也为递增，
∴

n

2(n+1)

-（

1

2

）ⁿ•（2n+4）递增，
∴当n=2时

2

2×3

-

1

4

×8=-

5

3

即λ＜

7

3

，
当n为奇数时-λ＜4-（

1

2

）ⁿ•（2n+4）+

n

2(n+1)

恒成立，
即-λ＜4-

1

2

×6+

1

4

即λ＞-

5

4

∴λ的取值范围是（-

5

4

，

7

3

）．

点评：本题考查数列的通项和求和，考查取倒数、构造数列的方法求通项，以及错位相减法求数列的和，同时考查数列不等式的恒成立，注意运用数列的单调性，属于中档题．