Question

6．已知函数$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-alnx+1$在（0，1）内有最小值，则a的取值范围是（　　）

• A． 0≤a＜1
• B． -1＜a＜1
• C． 0＜a＜1
• D． $0＜a＜\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由函数f（x）在（0，1）内有最小值，可得f′（x）≥0在（0，1）上由极小值．利用导函数的单调性求出即可

解答 解：函数$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-alnx+1$，（a∈R）．f′（x）=x-$\frac{a}{x}$，
∵函数f（x）在（0，1）内有最小值，
∴f′（x）=0在（0，1）上有解．函数有极小值也为最小值．
∴x-$\frac{a}{x}$=0，x∈（0，1）?$\sqrt{a}$＜1，a∈（0，1）．
并且x$∈（0，\sqrt{a}）$，f′（x）＜0，x∈（$\sqrt{a}$，1），f′（x）＞0，
x=$\sqrt{a}$函数取得最小值也极小值．
∴0＜a＜1．
故选：C．

点评 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、函数的极值，等价转化、考查计算能力．