Question

9．已知集合A={x||x-2|≤1}，B={x|x²-2tx+t²-4≤0，t∈R}
（1）若A∩B=[2，3]，求实数t的取值范围；
（2）若A⊆∁_RB，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用绝对值不等式和二次不等式的解法，化简集合A，B，由交集的定义，即可得到t的范围；
（2）求出∁_RB，由A⊆∁_RB，可得t的不等式，解不等式即可得到t的范围．

解答 解：（1）集合A={x||x-2|≤1}={x|1≤x≤3}=[1，3]，
B={x|x²-2tx+t²-4≤0，t∈R}={x|t-2≤x≤t+2}=[t-2，t+2]，
若A∩B=[2，3]，则t-2=2，即t=4，B=[2，6]，符合要求．
则t=4，即t的取值范围是{4}；
（2）∁_RB={x|x＞t+2或x＜t-2}，
由A⊆∁_RB，可得t-2＞3或t+2＜1，
解得t＞5或t＜-1．
可得t的取值范围是（5，+∞）∪（-∞，-1）．

点评 本题考查集合的交集和集合的包含关系，考查二次不等式和绝对值不等式的解法，运用定义法是解题的关键，属于中档题．