Question

1．已知函数f（x）=2sin（2x+φ）（0＜φ＜2π）的图象过点（$\frac{π}{2}$，-2）．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）若f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{6}{5}$，-$\frac{π}{2}$＜α＜0，求sin2α的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意利用条件f（x）的图象过点（$\frac{π}{2}$，-2），求得φ的值．
（Ⅱ）若f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{6}{5}$，-$\frac{π}{2}$＜α＜0，先求得cosα的值，可得sinα的值，再利用二倍角公式求得sin2α的值．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2sin（2x+ϕ）（0＜ϕ＜2π）的图象过点$（{\frac{π}{2}，-2}）$，
所以$f（{\frac{π}{2}}）=2sin（{π+ϕ}）=-2$，即sinϕ=1，∵0＜ϕ＜2π，所以$ϕ=\frac{π}{2}$．                           
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f（x）=2cos2x．∵$f（{\frac{α}{2}}）=\frac{6}{5}$，∴$cosα=\frac{3}{5}$．       
又因为$-\frac{π}{2}＜α＜0$，∴$sinα=-\frac{4}{5}$，∴$sin2α=2sinαcosα=-\frac{24}{25}$．

点评 本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于基础题．