Question

已知集合U_n={1，2，3，4，…，n}，n∈N^*，n＞2，它的子集合A，B满足：A∪B=U，A∩B=Φ，且若集合A的元素的个数不是集合A的元素，集合B的元素的个数不是集合B的元素，设满足条件的所有不同集合A的个数为a_n，如U₃={1，2，3}，满足条件的集合A为{2}，{1，3}共两个，故a₃=2．
（1）a₆=

 

；
（2）a_n=

 

．（n＞2）．

Answer 1

考点：归纳推理

专题：推理和证明

分析：（1）根据题意，运用列举法分别写出满足条件的集合A，即可得到答案；
（2）讨论n为奇数，n为偶数时，通过前几项归纳总结出a_n的通项．

解答： 解：（1）∵U₆={1，2，3，4，5，6}，
∴由a_n的定义可得，满足条件的集合A为{5}，{1，4}，{3，4}，{5，4}，{6，4}，{2，3，5，6}，{1，2，5，6}，{1，2，3，6}，
{1，2，3，5}，{1，2，3，4，6}共十个，故a₆=10．
（2）当n为奇数时，a₃=2，a₅=8=2³，a₇=32=2⁵，…，a_n=2^n-2；
当n为偶数时，a₄=2=2^4-2-

C

4-2 2 4-2

，a₆=10=2^6-2-

C

6-2 2 6-2

，a₈=44=2^8-2-

C

8-2 2 8-2

，…，a_n=2^n-2-

C

n-2 2 n-2

，
∴a_n=

2n-2，n为奇数 2n-2 -C n-2 2 n-2 ，n为偶数

（n＞2），
故答案为：

2n-2，n为奇数 2n-2 -C n-2 2 n-2 ，n为偶数

．

点评：本题考查不完全归纳在解题中的运用，关键在于通过几个特殊的项，加以归纳总结．