Question

20．已知下列命题：
①若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$，则（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$=0
②|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，则$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$
③△ABC中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，则三角形的面积S=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|）^{2}-（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}）^{2}}$
④△ABC中，G为三角形所在平面内一点，$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，则G为三角形的重心，
其中正确命题的序号是①③④．

Answer 1

分析 根据向量的几何意义和向量的模以及夹角公式和三角形的面积公式即可判断．

解答 解：对于①$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$=0，故正确；
对于②若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为非零向量，若|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，根据向量的几何意义可得$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，故②不正确，
对于③△ABC中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，则cosA=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$，则sinA=$\sqrt{1-\frac{|\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}{|}^{2}}{|\overrightarrow{a}{|}^{2}•|\overrightarrow{b}{|}^{2}}}$=$\frac{1}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$$\sqrt{（|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|）^{2}-（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}）^{2}}$，
三角形的面积S=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|•sinA=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|）^{2}-（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}）^{2}}$，故正确，
对于④△ABC中，G为三角形所在平面内一点，$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，则G为三角形的重心，故正确，
故答案为：①③④

点评 本题考查了向量的几何意义和向量的模以及夹角公式和三角形的面积，属于中档题