Question

已知数列，满足，，，．

（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；

（2）设数列满足，对于任意给定的正整数，是否存在正整数，()，使得，，成等差数列？若存在，试用表示，；若不存在，说明理由．

 

Answer 1

（1），（2）当时，不存在，满足题设条件；当时，存在，，满足题设条件．

【解析】

试题分析：（1）求证数列是等差数列，就是确定为一个常数.因此首先得到关于与的关系式，因为，所以，则，然后按提示，将所求关系式进行变形，即取倒数，得：，又，所以，故是首项为，公差为的等差数列，即，所以.（2）先明确数列，由(1)得，所以，然后假设存在，得一等量关系：若，，成等差数列，则，如何变形，是解题的关键，这直接影响解题方向.题中暗示，用p表示，所以由得：.令得，因为要，所以分情况讨论，当时，，，，成等差数列不成立．当时，，，即．

试题解析：（1）因为，所以，

则， 2分

所以，

又，所以，故是首项为，公差为的等差数列， 4分

即，所以． 6分

（2）由（1）知，所以，

①当时，，，，

若，，成等差数列，则（），

因为，所以，，，，

所以（）不成立． 9分

②当时，若，，成等差数列，

则，所以，

即，所以， 12分

欲满足题设条件，只需，此时， 14分

因为，所以，，

即． 15分

综上所述，当时，不存在，满足题设条件；

当时，存在，，满足题设条件． 16分

考点：等差数列定义，等差数列综合应用