Question

2．已知椭圆C：ax²+y²=2的焦点在x轴上，设坐标原点为O，椭圆C的左焦点为F（-2，0）．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）分别过F作两条相互垂直的直线l₁，l₂，且l₁交椭圆C于A，B两点，l₂交直线x=-3于点D，问四边形OADB能否为平行四边形？若能，求出其面积，若不能，说明理由．

Answer 1

分析 （1）椭圆C：ax²+y²=2的焦点在x轴上，化为：$\frac{{x}^{2}}{\frac{2}{a}}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1，椭圆C的左焦点为F（-2，0）．可得$\frac{2}{a}$=2+2²，解得a．可得椭圆C的离心率．
（2）由（1）可得：椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．分类讨论：若l₁⊥x轴，其对角线AB与OD不能相互平分，因此不是平行四边形，舍去．l₁与x轴重合时，不符合题意舍去．去掉上述两种情况：设直线l₁的方程为：my-2=x．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直线l₂的方程为：y=-m（x+2），可得D（-3，m）．线l₁的方程与椭圆方程联立化为：（6+m²）y²-4my-2=0，假设四边形OADB能为平行四边形，则$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{BD}$，即可判断出结论．

解答 解：（1）椭圆C：ax²+y²=2的焦点在x轴上，化为：$\frac{{x}^{2}}{\frac{2}{a}}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
椭圆C的左焦点为F（-2，0）．∴$\frac{2}{a}$=2+2²，解得a=$\frac{1}{3}$．
∴椭圆C的离心率=$\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（2）由（1）可得：椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
若l₁⊥x轴，其对角线AB与OD不能相互平分，因此不是平行四边形，舍去．
l₁与x轴重合时，不符合题意舍去．
去掉上述两种情况：设直线l₁的方程为：my-2=x．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
直线l₂的方程为：y=-m（x+2），可得D（-3，m）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{my-2=x}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，化为：（6+m²）y²-4my-2=0，
可得：y₁+y₂=$\frac{4m}{6+{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{-2}{6+{m}^{2}}$，
假设四边形OADB能为平行四边形，则$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{BD}$，
可得y₁=m-y₂，即y₁+y₂=m=$\frac{4m}{6+{m}^{2}}$，m≠0，化为：m²+2=0，
由△＜0，可得m不存在，因此四边形OADB不能为平行四边形．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、平行四边形的性质、向量相等、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．