Question

8．已知圆C的普通方程为（x-1）²+y²=3，过点M（1，2）的直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=2+tsinα\end{array}\right.$（t为参数，α为直线l的倾斜角）．
（1）若直线l被圆C截得的弦AB的长为2，求直线l的倾斜角；
（2）求过点M引圆C的切线的倾斜角．

Answer 1

分析 （1）将圆C的普通方程转化为参数方程，表示出|AB|的长，求出直线的倾斜角即可；
（2）直线和圆相切时，得到（4sinα）²-4=0，求出α的值即可．

解答 解：（1）将x=1+tcosα，y=2+tsinα，代入（x-1）²+y²=3，
得（tcosα）²+（2+tsinα）²=3，即t²+4tsinα+1=0．                          （2分）
设这个方程的根为t₁，t₂，则$|AB|=|{t_1}-{t_2}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{{{（-4sinα）}^2}-4}=2\sqrt{4{{sin}^2}α-1}$．           （4分）
∵|AB|=2，∴$4{sin^2}α-1=1⇒sinα=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，其中0≤α＜π．                （5分）
∴${α_1}=\frac{π}{4}，{α_2}=\frac{3π}{4}$．                                                       （6分）
故直线l的倾斜角为$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$．                                               （7分）
（2）当直线l与圆C相切时，方程t²+4tsinα+1=0的△=0，
即（4sinα）²-4=0．（9分）
∴${sin^2}α=\frac{1}{4}⇒sinα=\frac{1}{2}$，其中0≤α＜π．                                   （10分）
∴${α_1}=\frac{π}{6}，{α_2}=\frac{5π}{6}$．                                                   （11分）
故直线l的倾斜角为$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$．                                           （12分）

点评 本题考查了参数方程的应用，考查直线和圆的位置关系以及三角函数求值问题，是一道中档题．