Question

17．已知命题P：函数y=lg（x²+2x+a）的定义域为R；命题Q：不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0对任意实数x恒成立．若P∨Q是真命题，P∧Q是假命题；求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 当P真：f（x）=lg（x²+2x+a）的定义域为R，有△=4-4a＜0，解得a
命题Q：不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0对任意实数x恒成立．当a=2时成立，
当a≠2时，可得$\left\{\begin{array}{l}{a-2＜0}\\{△=4（a-2）^{2}+16（a-2）＜0}\end{array}\right.$，解得a范围．由于P∨Q是真命题，求出上述并集即可．

解答 解：当P真：f（x）=lg（x²+2x+a）的定义域为R，
有△=4-4a＜0，解得a＞1；
当命题Q真：不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0对任意实数x恒成立．当a=2时成立，
当a≠2时，可得$\left\{\begin{array}{l}{a-2＜0}\\{△=4（a-2）^{2}+16（a-2）＜0}\end{array}\right.$，解得-2＜a≤2．
若P∨Q是真命题，则0＜a＜1或-2＜a≤2．
因此实数a的取值范围是-2＜a≤2．
∵P∨Q是真命题，且P∧Q为假命题，
∴P真Q假，或P假Q真．
$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a≤-2或a＞2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{a≤1}\\{-2＜a≤2}\end{array}\right.$
即a＞2或-2＜a≤1．

点评 本题考查了指数函数的单调性、一元二次不等式的解集与判别式的关系、简易逻辑的判定，考查了推理能力，属于中档题．