Question

16．在棱长为2的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别是BC，BB₁的中点．
（1）求证：A₁B∥AC₁D
（2）求证：CE⊥面AC₁D
（3）求二面角C-AC₁-D的正弦值．

Answer 1

分析 （1），连接A₁C交AC₁于点F，可得DF为△A₁BC的中位线，即DF∥A₁B，可证A₁B∥面AC₁D
（2易得AD⊥面B₁BCC₁，AD⊥CE，
由D，E分别是BC，BB₁的中点，可得CE⊥DC，即可证CE⊥面AC₁D
（3）如图由（2）得CE⊥面AC₁D，则∠HFC就是二面角C-AC₁-D的平面角，
 在Rt△CHF中，sin∠HFC=$\frac{CH}{CF}=\frac{2}{\sqrt{5}}×\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$

解答 解：（1）如图，连接A₁C交AC₁于点F，则F为AC₁的中点，
∴DF为△A₁BC的中位线，故DF∥A₁B，
A₁B?面AC₁D，DF?面AC₁D，
∴A₁B∥面AC₁D；

（2）∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别是BC，BB₁的中点，
∴AD⊥面B₁BCC₁，∴AD⊥CE，
在正方形B₁BCC₁中，∵D，E分别是BC，BB₁的中点，可得△ECB≌DC₁C，
∴∠ECB=∠DC₁C，
即∠CDC₁+∠ECB=90°．∴CE⊥DC，
且AD∩CD=D，∴CE⊥面AC₁D；
（3）如图由（2）得CE⊥面AC₁D，设CE交DC₁于H，连接HF，
则∠HFC就是二面角C-AC₁-D的平面角，
在正方形BB₁C₁C中，由射影定理得CC₁²=C₁D•C₁H，⇒${C}_{1}H=\frac{4}{\sqrt{5}}$
由$C{H}^{2}+{C}_{1}{H}^{2}=C{{C}_{1}}^{2}$，⇒CH=$\frac{2}{\sqrt{5}}$．
在Rt△CHF中，sin∠HFC=$\frac{CH}{CF}=\frac{2}{\sqrt{5}}×\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴二面角C-AC₁-D的正弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查了空间线线、线面的位置关系，考查了转化思想，空间想象能力，属于中档题．