Question

8．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设固定顺序的5个题中，选手若能正确回答出3个题，即停止答题，晋级成功；否则需答满5个题．假设某选手正确回答每个问题的概率都是$\frac{2}{3}$，且每个题回答的正确与否都相互独立．
（Ⅰ）求该选手连续答对3道题晋级的概率；
（Ⅱ）记该选手在竞赛中答对题的个数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设“该选手连续答对3道题晋级”的事件为A，
利用相互独立事件的概率公式求概率即可；
（Ⅱ）该选手在竞赛中答对题的个数为X，写出X的可能取值，
计算对应的概率值，写出X的分布列，求出数学期望值．

解答 解：（Ⅰ）设“该选手连续答对3道题晋级”的事件为A，
则P（A）=${（\frac{2}{3}）}^{3}$+$\frac{1}{3}$×${（\frac{2}{3}）}^{3}$+${（\frac{1}{3}）}^{2}$×${（\frac{2}{3}）}^{3}$=$\frac{104}{243}$；
（Ⅱ）该选手在竞赛中答对题的个数为X，则X的可能取值为0，1，2，3；
P（X=0）=${（\frac{1}{3}）}^{5}$=$\frac{1}{243}$；
P（X=1）=${C}_{5}^{1}$×$\frac{2}{3}$×${（\frac{1}{3}）}^{4}$=$\frac{10}{243}$；
P（X=2）=${C}_{5}^{2}$×${（\frac{2}{3}）}^{2}$×${（\frac{1}{3}）}^{3}$=$\frac{40}{243}$；
P（X=3）=${（\frac{2}{3}）}^{3}$+${C}_{3}^{1}$×$\frac{1}{3}$×${（\frac{2}{3}）}^{3}$+${C}_{4}^{2}$×${（\frac{1}{3}）}^{2}$${×（\frac{2}{3}）}^{3}$=$\frac{64}{81}$
（或P（X=3）=1-$\sum_{i=1}^{3}$P（X=i-1）=1-（$\frac{1}{243}$+$\frac{10}{243}$+$\frac{40}{243}$）=$\frac{64}{81}$）；
∴随机变量X的分布列为

X	0	1	2	3
p	$\frac{1}{243}$	$\frac{10}{243}$	$\frac{40}{243}$	$\frac{64}{81}$

数学期望为EX=0×$\frac{1}{243}$+1×$\frac{10}{243}$+2×$\frac{40}{243}$+3×$\frac{64}{81}$=$\frac{74}{27}$．

点评 本题考查了相互独立事件的概率以及离散型随机事件的分布列和数学期望值的计算问题，是中档题．