Question

用长为18 m的钢条围成一个长方体容器的框架，如果所制的容器的长与宽之比为2∶1，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．

Answer 1

容器高为1.5 m时容器的容积最大，最大容积为3.

试题分析：设长方体的宽为m, 长为2x m，高为 m，由实际意义得出，长方体体积可写出容积，对求导，知0<x<1时，V′(x)>0；当时，V′(x)<0，则在时有最大值，求之得最大容积．
解：设长方体的宽为x m，则长为2x m，高为 m,
由  解得   ，       3分
故长方体的容积为    6分
从而    V′(x)＝，
令V′(x)＝0，解得x＝1或x＝0 (舍去)，      8分
当0<x<1时，V′(x)>0；
当时，V′(x)<0，
故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值，
从而最大体积为V(1)＝9×1²－6×1³ ＝ 3 ,      10分
此时容器的高为4.5－3＝1.5 m,
因此，容器高为1.5 m时容器的容积最大，最大容积为3 ．    12分