Question

15．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的一个顶点为C（0，-2），直线l与椭圆E交于A、B两点，若E的左焦点为△ABC的重心，则直线l的方程为（　　）

• A． 6x-5y-14=0
• B． 6x-5y+14=0
• C． 6x+5y+14=0
• D． 6x+5y-14=0

Answer 1

分析 先由椭圆左焦点F₁恰为△ABC的重心，得相交弦AB的中点坐标，再由点A、B在椭圆上，利用点差法，将中点坐标代入即可的直线l的斜率，最后由直线方程的点斜式写出直线方程即可．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），椭圆$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的左焦点为（-1，0），
∵点C（0，-2），且椭圆左焦点F₁恰为△ABC的重心
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+0}{3}$=-1，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}-2}{3}$=0
∴x₁+x₂=-3，y₁+y₂=2     ①
∵$\frac{{x}_{1}^{2}}{5}+\frac{{y}_{1}^{2}}{4}=1$，$\frac{{x}_{2}^{2}}{5}+\frac{{y}_{2}^{2}}{4}=1$，
∴两式相减得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{5}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{4}$=0
将①代入得：$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{6}{5}$，即直线l的斜率为k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{6}{5}$，
∵直线l 过AB中点（-$\frac{3}{2}$，1）
∴直线l的方程为y-1=$\frac{6}{5}$（x+$\frac{3}{2}$）
故答案为6x-5y+14=0，
故选B．

点评 本题主要考查了直线与椭圆相交的位置关系、三角形的重心坐标公式、直线的点斜式方程，属于中档题．