Question

4．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a≠b，cos²A-cos²B=$\sqrt{3}$sinAcosA-$\sqrt{3}$sinBcosB．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若c=$\sqrt{3}$，siniA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin（2A-$\frac{π}{6}$）=sin（2B-$\frac{π}{6}$），由A≠B，可得2A-$\frac{π}{6}$+2B-$\frac{π}{6}$=π，进而可求C的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，A+B=$\frac{2π}{3}$，结合sinA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得A，B的值，求得sin$\frac{7π}{12}$的值，利用正弦定理可求a，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）∵cos²A-cos²B=$\sqrt{3}$sinAcosA-$\sqrt{3}$sinBcosB．
∴$\frac{1+cos2A}{2}$-$\frac{1+cos2B}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2B，…2分
可得：cos2A-cos2B=$\sqrt{3}$sin2A-$\sqrt{3}$sin2B，可得：sin（2A-$\frac{π}{6}$）=sin（2B-$\frac{π}{6}$），…4分
∵△ABC中，a≠b，可得A≠B，
∴2A-$\frac{π}{6}$+2B-$\frac{π}{6}$=π，
∴A+B=$\frac{2π}{3}$，可得：C=$\frac{π}{3}$…6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，A+B=$\frac{2π}{3}$，
∵sinA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得：A=$\frac{π}{4}$，B=$\frac{7π}{12}$，…8分
∴sin$\frac{7π}{12}$=sin（$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，…10分
∵c=$\sqrt{3}$，由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，可得：a=$\sqrt{2}$，…11分
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$…12分
（注：解法较多，酌情给分，直接sin$\frac{7π}{12}$=sin75°=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$的也给分）

点评 本题考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的综合应用，对基本运算能力、逻辑推理能力有一定要求，难度为中等．