Question

设抛物线C：y²＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，l与x轴交于点R，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．

(1)若∠BFD＝120°，△ABD的面积为8，求p的值及圆F的方程；

(2)在(1)的条件下，若A，B，F三点在同一直线上，FD与抛物线C交于点E，求△EDA的面积．

Answer 1

解：(1)因为∠BFD＝120°，|BF|＝|FD|，

所以∠FBD＝∠FDB＝30°，

在Rt△BRF中，因为|FR|＝p，

所以|BF|＝2p，|BR|＝p.

在Rt△DRF中，同理有|DF|＝2p，|DR|＝p，

所以|BD|＝|BR|＋|RD|＝2p，

圆F的半径|FA|＝|FB|＝2p.

由抛物线定义可知，A到l的距离d＝|FA|＝2p，

因为△ABD的面积为8，

所以|BD|·d＝8，

即×2p×2p＝8，解得p＝－2(舍去)或p＝2，所以F(1,0)，圆F的方程为(x－1)²＋y²＝16.

(2)因为A，B，F三点在同一直线上，所以AB为圆F的直径，∠ADB＝90°，

由抛物线定义知，|AD|＝|FA|＝|AB|，所以∠ABD＝30°，

直线DF的斜率k＝tan 60°＝，其方程为y＝(x－1)，

解方程组得

d′＝|DR|－|y_E|＝2－＝，

所以S_△EDA＝|DA|·d′＝×4×＝.