Question

7．已知抛物线C：y²=2px（p＞1）的焦点为F，直线y=m与y轴的交点为P，与C的交点为Q（x₀，y₀），且$\frac{|QF|}{|PQ|}$=p．
（1）当x₀+p取得最小值时，求p的值；
（2）当x₀=1时，若直线l与抛物线C相交于A，B两点，与圆M：（x-n）²+y²=1相交于D，E两点，O为坐标原点，OA⊥OB，试问：是否存在实数n，使得|DE|的长为定值？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用条件表示x₀，根据基本不等式即可求出当x₀+p取得最小值时，p的值；
（2）设AB的方程为x=ty+m，代入抛物线方程可得y²-4ty-4m=0，求出直线方程，利用勾股定理表示|DE|，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意|QF|=|QP|+$\frac{p}{2}$=p，∴|PQ|=$\frac{p}{2（p-1）}$=x₀，
∴x₀+p=$\frac{p}{2（p-1）}$+p=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2（p-1）}$+p-1≥$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$，当且仅当$\frac{1}{2（p-1）}$=p-1，即p=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，x₀+p取得最小值；
（2）当x₀=1时，$\frac{p}{2（p-1）}$=1，∴p=2，
设AB的方程为x=ty+m，代入抛物线方程可得y²-4ty-4m=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4m，
由OA⊥OB得：（ty₁+m）（ty₂+m）+y₁y₂=0，解得m=4，
∴l：x=ty+4，
圆心到直线的距离d=$\frac{|n-4|}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$，
∴|DE|=2$\sqrt{1-\frac{（n-4）^{2}}{1+{t}^{2}}}$，n=4时，|DE|=2．

点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．