Question

11．若函数f（x）=2sin（$\frac{π}{3}$-2x）+1．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若方程f（x）+b=0在[$\frac{π}{2}$，π]上有解，求b的取值范围；
（3）将y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位后，再向下平移1个单位得到函数y=g（x）的图象．
①若y=g（ωx）的图象在（-2π，0）上单调递增，求ω的取值范围；
②若方程g（ωx）=2在（0，2π）上至少存在三个根，求ω的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式可求f（x）=1-2sin（2x-$\frac{π}{3}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得f（x）的单调递增区间．
（2）由题意可得：2sin（2x-$\frac{π}{3}$）=1+b在[$\frac{π}{2}$，π]上有解，由2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]，利用正弦函数的性质可得2sin（2x-$\frac{π}{3}$）=1+b∈[-2，$\sqrt{3}$]，进而解得b的范围．
（3）利用三角函数图象变换规律可得g（x）=-2sin2x，①由题意可得$\frac{2π}{2ω}$≥2×2π，即可解得ω的范围；
②由题意可得函数y=sin2ωx在区间（0，2π）上恰有三个取得最小值-1的点，利用正弦函数的图象和性质可求$\frac{7T}{2}$≤2π＜$\frac{9T}{2}$，根据三角函数周期公式可求ω的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=2sin（$\frac{π}{3}$-2x）+1=1-2sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
∴令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为：[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z．
（2）∵若方程f（x）+b=0在[$\frac{π}{2}$，π]上有解，
∴1-2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+b=0在[$\frac{π}{2}$，π]上有解，
可得：2sin（2x-$\frac{π}{3}$）=1+b，在[$\frac{π}{2}$，π]上有解，
∴由x∈[$\frac{π}{2}$，π]，可得：2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]，可得：2sin（2x-$\frac{π}{3}$）=1+b∈[-2，$\sqrt{3}$]，
∴解得：b∈[-3，$\sqrt{3}$-1]．
（3）将y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位后，可得函数y=1-2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{3}$]=1-2sin2x，
再向下平移1个单位得到函数y=g（x）=-2sin2x，
①由题意可得：y=g（ωx）=-2sin2ωx的图象在（-2π，0）上单调递增，
∴$\frac{2π}{2ω}$≥2×2π，解得：ω≤$\frac{1}{4}$，
②∵-2sin2ωx=2，可得：sin2ωx=-1，
由题意，方程sin2ωx=-1在（0，2π）上至少存在三个根，
即函数y=sin2ωx在区间（0，2π）上恰有三个取得最小值-1的点，
∴$\frac{7T}{2}$≤2π＜$\frac{9T}{2}$，求得：$\frac{4π}{9}$＜T≤$\frac{4π}{7}$，即：$\frac{4π}{9}$＜$\frac{2π}{2ω}$≤$\frac{4π}{7}$，解得：$\frac{7}{4}$≤ω＜$\frac{9}{4}$．
即ω的取值范围为：$\frac{7}{4}$≤ω＜$\frac{9}{4}$．

点评 本题主要考查正弦函数的图象特征和性质，正弦函数的最值，函数的零点，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．