Question

19．如图，椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右焦点为F，过F的直线交椭圆于A，B两点，点C是点A关于原点O的对称点，若CF⊥AB且CF=AB，则椭圆的离心率为$\sqrt{6}-\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作另一焦点F′，连接AF′和BF′和CF′，则四边形FAF′C为平行四边形，进一步得到三角形ABF′为等腰直角三角形，设AF′=AB=x，求出x，在三角形AFF′中由勾股定理得（AF′）²+（AF）²=（2c）²，即可求出e²，则答案可求．

解答 解：作另一焦点F′，连接AF′和BF′和CF′，则四边形FAF′C为平行四边形，
∴AF′=CF=AB，且AF′⊥AB，则三角形ABF′为等腰直角三角形，
设AF′=AB=x，则$x+x+\sqrt{2}x=4a$，即$x=（4-2\sqrt{2}）a$，
∴$AF=（2\sqrt{2}-2）a$，在三角形AFF′中由勾股定理得（AF′）²+（AF）²=（2c）²，
∴${e}^{2}=9-6\sqrt{2}$．则e=$\sqrt{6}-\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{6}-\sqrt{3}$．

点评 本题考查了椭圆的简单性质，考查了勾股定理在解题中的应用，是中档题．