Question

16．当n为正奇数时，$C_7^0{7^n}+C_n^1{7^{n-1}}+C_n^2{7^{n-2}}+…+C_n^{n-1}7$除以9的余数是7．

Answer 1

分析 由组合数的性质知$C_7^0{7^n}+C_n^1{7^{n-1}}+C_n^2{7^{n-2}}+…+C_n^{n-1}7$=（9-1）ⁿ-1，由此能求出结果．

解答 解：由组合数的性质知：
$C_7^0{7^n}+C_n^1{7^{n-1}}+C_n^2{7^{n-2}}+…+C_n^{n-1}7$
=8ⁿ-1=（9-1）ⁿ-1
=9ⁿ+${C}_{n}^{1}{9}^{n-1}（-1）$+${C}_{n}^{2}{9}^{n-2}（-1）^{2}$+…+${C}_{n}^{n-1}9（-1）^{n-1}$-2
按照二项式定理展开，前边的项都能被9整除，最后一项为-2，
当n为正奇数时，$C_7^0{7^n}+C_n^1{7^{n-1}}+C_n^2{7^{n-2}}+…+C_n^{n-1}7$除以9的余数是7．
故答案为：7．

点评 本题考查余数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数性质及二项式定理的合理运用．