Question

2．已知A=$（\begin{array}{l}{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\\{1}&{0}&{0}\end{array}）$．
（1）求A²，A³，A²⁰¹⁴．
（2）若n阶方阵B=$[\begin{array}{l}{0}&{1}&{0}&{0}&{…}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{0}&{…}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{1}&{…}&{0}\\{…}&{…}&{…}&{…}&{…}&{…}\\{0}&{0}&{0}&{0}&{…}&{1}\\{1}&{0}&{0}&{0}&{…}&{0}\end{array}]$（左下角1的余子式为n-1阶单位矩阵），试求出B^k（k∈N^*）．
（3）若C=$（\begin{array}{l}{{c}_{0}}&{{c}_{1}}&{{c}_{2}}\\{{c}_{2}}&{{c}_{0}}&{{c}_{1}}\\{{c}_{1}}&{{c}_{2}}&{{c}_{0}}\end{array}）$，则称此矩阵为三阶循环矩阵，请你参考（1）的计算过程证明两个三阶循环矩阵的乘积仍为三阶循环矩阵．三阶循环矩阵的乘法是否满足交换律？如果是，请说明理由，如果不是，请举出反例．

Answer 1

分析 （1）利用矩阵乘法公式能求出A²，A³，A²⁰¹⁴．
（2）用数学归纳法可以证明若k=np+q，p∈N，0≤q＜n，B^k=$（\begin{array}{l}{O}&{{I}_{n-q}}\\{{I}_{q}}&{O}\end{array}）$．
（3）若C，D为三阶循环矩阵，满足交换律CD=DC．

解答 解：（1）∵A=$（\begin{array}{l}{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\\{1}&{0}&{0}\end{array}）$，
∴A²=$（\begin{array}{l}{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\\{1}&{0}&{0}\end{array}）$$（\begin{array}{l}{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\\{1}&{0}&{0}\end{array}）$=$（\begin{array}{l}{0}&{0}&{1}\\{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\end{array}）$．
A³=$（\begin{array}{l}{0}&{0}&{1}\\{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\end{array}）$$（\begin{array}{l}{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\\{1}&{0}&{0}\end{array}）$=$（\begin{array}{l}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{array}）$．
∴A⁴=A，
∵2014=671×3+1，
∴A²⁰¹⁴=A=$（\begin{array}{l}{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\\{1}&{0}&{0}\end{array}）$．
（2）用数学归纳法可以证明若k=np+q，p∈N，0≤q＜n，
B^k=$（\begin{array}{l}{O}&{{I}_{n-q}}\\{{I}_{q}}&{O}\end{array}）$，这里O为零矩阵，I_q，I_n-q为q，n-q阶单位矩阵．
（3）若C，D为三阶循环矩阵，
$C={c}_{0}I+{c}_{1}A+{c}_{2}{A}^{2}$，
D=${d}_{0}I+{d}_{1}A+{d}_{2}{A}^{2}$，
满足交换律CD=DC=（c₀d₀+c₁d₂+c₂d₁）I+（c₀d₁+c₁d₀+c₂d₂）A+（c₀d₂+c₁d₁+c₂d₀）A²．

点评 本题考查矩阵的运算及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意矩阵乘法运算法则的合理运用．