Question

17．函数f（x）、g（x）的定义域都是R，f（x）是奇函数，g（x）为偶函数，且2f（x）+3g（x）=9x²-4x+1．
（1）求f（x），g（x）的解析式；
（2）若F（x）=[f（x）]²-3g（x），求F（x）的值域和单调区间．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）、g（x）的奇偶性，得出-2f（x）+3g（x）=9x²+4x+1②；又2f（x）+3g（x）=9x²-4x+1①，由①、②，求得f（x）、g（x）；
（2）F（x）=[f（x）]²-3g（x）=-5x²+1，即可求F（x）的值域和单调区间．

解答 解：（1）∵f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），
且2f（x）+3g（x）=9x²-4x+1，①，
∴2f（-x）+3g（-x）=9x²+4x+1，
即-2f（x）+3g（x）=9x²+4x+1，②；
由①、②解得f（x）=-2x，g（x）=3x²+$\frac{1}{3}$．
（2）F（x）=[f（x）]²-3g（x）=-5x²-1，
∴F（x）的值域是（-∞，1]；单调区间（-∞，0）单调递增，（0，+∞）单调递减．

点评 本题考查了函数的奇偶性的应用问题，解题时应根据题意，结合奇偶性建立二元一次方程组，从而求出答案来，是中档题．