Question

8．数列{a_n}中，a_n+1=1+$\frac{1}{{a}_{n}}$，a₁=1，则a_n=$\frac{1}{2}[\frac{（1+\sqrt{5}）^{n+1}-（1-\sqrt{5}）^{n+1}}{（1+\sqrt{5}）^{n}-（1-\sqrt{5}）^{n}}]$．（n∈N^*）．

Answer 1

分析 令$x=1+\frac{1}{x}$，化为x²-x-1=0，解得x_1，2=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$．x₁+x₂=1，x₁x₂=-1．则$\frac{{a}_{n+1}-{x}_{1}}{{a}_{n+1}-{x}_{2}}$÷$\frac{{a}_{n}-{x}_{1}}{{a}_{n}-{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$．因此数列$\{\frac{{a}_{n}-{x}_{1}}{{a}_{n}-{x}_{2}}\}$是等比数列，首项为$\frac{{a}_{1}-{x}_{1}}{{a}_{1}-{x}_{2}}$，公比为$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$．即可得出．

解答 解：令$x=1+\frac{1}{x}$，化为x²-x-1=0，
解得x_1，2=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$．
则x₁+x₂=1，x₁x₂=-1．
∴$\frac{{a}_{n+1}-{x}_{1}}{{a}_{n+1}-{x}_{2}}$÷$\frac{{a}_{n}-{x}_{1}}{{a}_{n}-{x}_{2}}$
=$\frac{1+\frac{1}{{a}_{n}}-{x}_{1}}{1+\frac{1}{{a}_{n}}-{x}_{2}}$×$\frac{{a}_{n}-{x}_{2}}{{a}_{n}-{x}_{1}}$
=$\frac{[{a}_{n}（1-{x}_{1}）+1]（{a}_{n}-{x}_{2}）}{[{a}_{n}（1-{x}_{2}）+1]（{a}_{n}-{x}_{1}）}$
=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$×$\frac{{a}_{n}^{2}-{a}_{n}-1}{{a}_{n}^{2}-{a}_{n}-1}$
=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$．
∴数列$\{\frac{{a}_{n}-{x}_{1}}{{a}_{n}-{x}_{2}}\}$是等比数列，首项为$\frac{{a}_{1}-{x}_{1}}{{a}_{1}-{x}_{2}}$，公比为$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$．
∴$\frac{{a}_{n}-{x}_{1}}{{a}_{n}-{x}_{2}}$=$\frac{{a}_{1}-{x}_{1}}{{a}_{1}-{x}_{2}}$×$（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}）^{n-1}$．

取${x}_{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，${x}_{1}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$．
$\frac{{a}_{1}-{x}_{1}}{{a}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{1-{x}_{1}}{1-{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$，
∴$\frac{{a}_{n}-{x}_{1}}{{a}_{n}-{x}_{2}}$=$（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}）^{n}$，
解得a_n=$\frac{{x}_{2}^{n+1}-{x}_{1}^{n+1}}{{x}_{2}^{n}-{x}_{1}^{n}}$=$\frac{1}{2}[\frac{（1+\sqrt{5}）^{n+1}-（1-\sqrt{5}）^{n+1}}{（1+\sqrt{5}）^{n}-（1-\sqrt{5}）^{n}}]$．
即a_n=$\frac{1}{2}[\frac{（1+\sqrt{5}）^{n+1}-（1-\sqrt{5}）^{n+1}}{（1+\sqrt{5}）^{n}-（1-\sqrt{5}）^{n}}]$．（n∈N^*）．

点评 本题考查了递推关系的应用、等比数列的通项公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．