Question

12．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c．已知sinAsinC=$\frac{3}{4}$，b²=ac．
（1）求角B的值；
（2）若b=$\sqrt{3}$，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）由b²=ac，利用正弦定理，结合sinAsinC=$\frac{3}{4}$，求出sinB，即可求角B的大小．
（2）由已知利用余弦定理可求a+c的值，进而可求周长的值．

解答 （本题满分为10分）
解：（1）因为b²=ac，
所以由正弦定理得sin²B=sinAsinC．
因为sinAsinC=$\frac{3}{4}$，
所以sin²B=$\frac{3}{4}$．
因为sinB＞0，
所以sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
因为0＜B＜$\frac{π}{2}$，
所以B=$\frac{π}{3}$． …（5分）
（2）因为：B=$\frac{π}{3}$，b=$\sqrt{3}$，b²=ac
所以：由余弦定理可得：3=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=（a+c）²-9，
解得：a+c=2$\sqrt{3}$，
所以：△ABC的周长为：a+b+c=2$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$…（10分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．