Question

5．若等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足${S_n}={（{\frac{1}{2}}）^n}$-1，则$\underset{lim}{n→+∞}$（a₁+a₃+…+a_2n-1）=-$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 根据等比数列{a_n}的前n项和${S_n}={（{\frac{1}{2}}）^n}$-1推知a₁和q，然后根据求和公式进行计算并求极限．

解答 解：∵a₁=$（\frac{1}{2}）^{1}$-1=-$\frac{1}{2}$，a₂=S₂-a₁=$（\frac{1}{2}）^{2}$-1-（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$，
∴q=$\frac{-\frac{1}{4}}{-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴a₁+a₂+a₃+…+a_2n-1=$\frac{{a}_{1}[1-（-\frac{1}{2}）^{2n}]}{1-（-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{-\frac{1}{2}×[1-（\frac{1}{4}）^{n}]}{\frac{3}{4}}$=-$\frac{2}{3}$×[1-（$\frac{1}{4}$）ⁿ]，
∴$\underset{lim}{n→+∞}$（a₁+a₃+…+a_2n-1）=-$\frac{2}{3}$．
故答案是：-$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了等比数列的前n项和．根据等比数列建立条件关系求出公比是解决本题的关键．