Question

10．已知函数$f（x）={2^{a{x^2}-bx+1}}$，若a是从区间（0，2）任取的一个数，b是从区间（0，2）任取的一个数，则此函数在[1，+∞）递增的概率（　　）

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 a、b是从区间[0，2]上任取的数，故有无穷多种取法，在平面坐标系内作出a、b对应的区域为一正方形．函数f（x）在[1，+∞）上递增，g（x）=ax²-bx+1在[1，+∞）上递增，由二次函数的单调性可得到a和b的关系，作出在平面坐标系内对应的区域，由几何概型面积之比求概率即可．

解答 解：函数f（x）在[1，+∞）上递增，g（x）=ax²-bx+1在[1，+∞）上递增．
由二次函数的单调性可知-$\frac{-b}{2a}$≤1，即2a≥b．
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{0≤a≤2}\\{0≤b≤2}\\{2a≥b}\end{array}\right.$，画出图示得阴影部分面积．
∴此函数在[1，+∞）递增的概率为P=$\frac{2×2-\frac{1}{2}×2×1}{2×2}$=$\frac{3}{4}$．
故选：A．

点评 本题考查几何概型的求法、二元一次不等式组表示的平面区域，考查数形结合思想解题．