Question

17．设△ABC的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，$4S=\sqrt{3}（{b^2}+{c^2}-{a^2}）$．
（1）求∠A；
（2）求$sin（A+{10°}）[{1-\sqrt{3}tan（A-{{10}°}）}]$．

Answer 1

分析 （1）由已知利用三角形面积公式，同角三角函数基本关系式及余弦定理化简$tanA=\sqrt{3}$，结合A的范围利用特殊角的三角函数值即可得解A的值．
（2）由A的值，利用三角函数恒等变换的应用即可化简得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）因为：$4S=\sqrt{3}（{b^2}+{c^2}-{a^2}）$，
所以：$4•\frac{1}{2}bcsinA=\sqrt{3}•2bccosA$，即$tanA=\sqrt{3}$，
因为：A∈（0，180°），
所以A=60°．…（6分）
（2）$原式=sin{70°}（{1-\sqrt{3}tan{{50}°}}）=sin{70°}•\frac{{cos{{50}°}-\sqrt{3}sin{{50}°}}}{{cos{{50}°}}}$…（8分）
=$sin{70°}•\frac{{-2sin{{20}°}}}{{cos{{50}°}}}=cos{20°}•\frac{{-2sin{{20}°}}}{{sin{{40}°}}}=-\frac{{sin{{40}°}}}{{sin{{40}°}}}=-1$．…（12分）

点评 本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式及余弦定理，特殊角的三角函数值，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．